Bloque 3

Medidas Estadísticas

Medidas De Tendencia Central

Las características globales de un conjunto de datos estadísticos pueden resumirse mediante una serie de cantidades numéricas representativas llamadas parámetros estadísticos. Entre ellas, las medidas de tendencia central, como la media aritmética, la moda o la mediana, ayudan a conocer de forma aproximada el comportamiento de una distribución estadística.

Medidas de centralización

Se llama medidas de posición, tendencia central o centralización a unos valores numéricos en torno a los cuales se agrupan, en mayor o menor medida, los valores de una variable estadística. Estas medidas se conocen también como promedios.

Se distinguen dos clases principales de valores promedio:

Las medidas de posición centrales: medias (aritmética, geométrica, cuadrática, ponderada), mediana y moda.

Las medidas de posición no centrales: entre las que destacan especialmente los cuantiles.

Media

La media, también conocida como promedio, es el valor que se obtiene al dividir la suma de un conglomerado de números entre la cantidad de ellos.

Algunas características de la media son:

Considera todas las puntuaciones

El numerador de la fórmula es la cantidad de valores

Cuando hay puntuaciones extremas, no tiene una representación exacta de la muestra

Mediana

La media aritmética no siempre es representativa de una serie estadística. Para complementarla, se utiliza un valor numérico conocido como mediana o valor central.

Dado un conjunto de valores ordenados, su mediana se define como un valor numérico tal que se encuentra en el centro de la serie, con igual número de valores superiores a él que inferiores. Normalmente, la mediana se expresa como Me.

La mediana es única para cada grupo de valores. Cuando el número de valores ordenados (de mayor a menor, o de menor a mayor) de la serie es impar, la mediana corresponderá al valor que ocupe la posición (n + 1) /2 de la serie. Si el número de valores es par, ninguno de ellos ocupará la posición central. Entonces, se tomará como mediana la media aritmética entre los dos valores centrales.

Moda

La moda es el valor que aparece más dentro de un conglomerado. En un grupo puede haber dos modas y se conoce como bimodal, y más de dos modas o multimodal cuando se repiten más de dos valores; se llama amodal cuando en un conglomerado no se repiten los valores.

Por último, se conoce como moda adyacente cuando dos valores continuos tienen la misma cantidad de repeticiones. En este caso se saca el promedio de ambos.

Las principales características de la moda son:

Es una muestra muy clara

Las operaciones para determinar el resultado son muy fáciles de elaborar

Los valores que se presentan pueden ser cualitativos y cuantitativos

Sesgo

En estadística se llama sesgo de un estimador a la diferencia entre su esperanza matemática y el valor numérico del parámetro que estima. Un estimador cuyo sesgo es nulo se llama insesgado o centrado.

El no tener sesgo es una propiedad deseable de los estimadores. Una propiedad relacionada con esta es la de la consistencia: un estimador puede tener un sesgo, pero el tamaño de este converge a cero conforme crece el tamaño muestral.

Dada la importancia de la falta de sesgo, en ocasiones, en lugar de estimadores naturales se utilizan otros corregidos para eliminar el sesgo. Así ocurre, por ejemplo, con la varianza muestral.

Medidas de Dispersión

Las medidas de dispersión, variabilidad o variación nos indican si esos datos están próximos entre sí o sí están dispersos, es decir, nos indican cuán esparcidos se encuentran los datos. Estas medidas de dispersión nos permiten apreciar la distancia que existe entre los datos a un cierto valor central e identificar la concentración de los mismos en un cierto sector de la distribución, es decir, permiten estimar cuán dispersas están dos o más distribuciones de datos.

Estas medidas permiten evaluar la confiabilidad del valor del dato central de un conjunto de datos, siendo la media aritmética el dato central más utilizado. Cuando existe una dispersión pequeña se dice que los datos están dispersos o acumulados cercanamente respecto a un valor central, en este caso el dato central es un valor muy representativo. En el caso que la dispersión sea grande el valor central no es muy confiable. Cuando una distribución de datos tiene poca dispersión toma el nombre de distribución homogénea y si su dispersión es alta se llama heterogénea.

Desviación media o desviación promedio

La desviación media o desviación promedio es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media aritmética.

PROPIEDADES

Guarda las mismas dimensiones que las observaciones. La suma de valores absolutos es relativamente sencilla de calcular, pero esta simplicidad tiene un inconveniente: Desde el punto de vista geométrico, la distancia que induce la desviación media en el espacio de observaciones no es la natural (no permite definir ángulos entre dos conjuntos de observaciones). Esto hace que sea muy engorroso trabajar con ella a la hora de hacer inferencia a la población.

MÉTODOS DE CÁLCULO

 1.-Para Datos No Agrupados

 Se emplea la ecuación:

2.-Para Datos Agrupados en Tablas de Frecuencia

Se emplea la ecuación:

Rango

El rango es un valor numérico que indica la diferencia entre el valor máximo y el mínimo de una población o muestra estadística. El rango suele ser utilizado para obtener la dispersión total.  El rango es muy útil para observar cuán grande podría llegar a ser una variación o cambio. Vale la pena mencionar también que, en no pocas ocasiones, el rango no es una medida fija.

Fórmula del rango

Para calcular el rango de una muestra o población estadística utilizaremos la siguiente fórmula:

R = Máx. x – Mín. x

Donde

R es el rango.

Máx. es el valor máximo de la muestra o población.

Mín. es el valor mínimo de la muestra o población estadística.

x es la variable sobre la que se pretende calcular esta medida.

Para ello, no es necesario ordenar los valores de mayor a menor o viceversa. Si sabemos cuál son los números con mayor y menor valor, tan sólo tendremos que aplicar la fórmula.

Varianza

La varianza de una muestra o de un conjunto de valores, es la sumatoria de las desviaciones al cuadrado con respecto al promedio o a la media, todo esto dividido entre el número total de observaciones menos 1.

De manera muy general se puede decir que la varianza es la desviación estándar elevada al cuadrado.

La varianza de una muestra se simboliza como S2, mientras que la varianza de una población de simboliza como σ2.

La varianza de una muestra es utilizada para estimar la varianza de una población, la cual en muchas ocasiones se desconoce. Es por esto que S2 también es considerada comúnmente como un estadístico y σ2 como un parámetro.

Fórmula de la Varianza

La varianza de una muestra presenta la siguiente fórmula:

S2 =

Donde, representa la sumatoria de la resta entre cada uno de los valores muestreados () y la media (), elevado al cuadrado.

A su vez, representa el número total de observaciones o datos muestreados. Para valores muy grandes de la varianza es mínima o incluso despreciable.

En cambio, la varianza de una población presenta la siguiente fórmula:

σ2 =

Donde N representa el número total de observaciones o datos muestreados.

En la mayoría de los casos es muy difícil, por no decir imposible obtener un N total de datos, por ejemplo, al hablar de individuos de una población, no es posible muestrear a todos estos individuos, ya que existe un factor de tiempo y recursos limitante.

Desviación Estándar

La desviación estándar es la medida de dispersión más común, que indica qué tan dispersos están los datos con respecto a la media. Mientras mayor sea la desviación estándar, mayor será la dispersión de los datos.

El símbolo σ (sigma) se utiliza frecuentemente para representar la desviación estándar de una población, mientras que s se utiliza para representar la desviación estándar de una muestra. La variación que es aleatoria o natural de un proceso se conoce comúnmente como ruido.

La desviación estándar se puede utilizar para establecer un valor de referencia para estimar la variación general de un proceso.

Cuartiales

Los cuartiles son valores que dividen una muestra de datos en cuatro partes iguales. Utilizando cuartiles puede evaluar rápidamente la dispersión y la tendencia central de un conjunto de datos, que son los pasos iniciales importantes para comprender sus datos. Los cuartiles son los tres valores de la variable que dividen a un conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales.

Q1, Q2 y Q3 determinan los valores correspondientes al 25%, al 50% y al 75% de los datos. Q2 coincide con la mediana.

Deciles

Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes iguales. Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%... y al 90% de los datos.

D5 coincide con la mediana.

Cálculo de los deciles

En primer lugar, buscamos la clase donde se encuentra Cálculo de los cuartiles, en la tabla de las frecuencias acumuladas.

En la tabla de las frecuencias acumuladas.

Percentiles

Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales. Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%... y al 99% de los datos.

P50 coincide con la mediana.

Cálculo de los percentiles

En primer lugar, buscamos la clase donde se encuentra.
En la tabla de las frecuencias acumuladas.